Nacque a Castelfranco Veneto e visse in varie località del nord Italia seguendo i trasferimenti del padre ferroviere. Completate le scuole superiori in Veneto, si iscrisse all’Università di Firenze nel 1926. Si laureò in fisica a piedi voti nel 1930, sotto la supervisione del direttore dell’Osservatorio di Arcetri, Giorgio Abetti, e con una tesi di astrofisica sulle righe del magnesio nello spettro solare.
Dopo la laurea continuò a frequentare l’Osservatorio come assistente universitario e approfondì gli studi sullo spettro fotosferico solare; dal punto di vista osservativo, pubblicando i risultati delle osservazioni condotte per la tesi dalla Torre Solare di Arcetri; e da quello sperimentale teorico, grazie ad un anno di specializzazione presso il laboratorio eliofisico dell’Università di Utrecht, sotto la guida del fisico solare Marcel Minnaert. Si dedicò inoltre ad un approfondito studio sulle caratteristiche fisiche della corona solare, per osservare la quale si recò in Russia insieme ad Abetti in occasione dell’eclisse totale di Sole del 19 giugno 1936.
Nel 1937 viene trasferito alla Stazione astronomica di Carloforte in Sardegna, per dedicarsi alle osservazioni del Servizio internazionale delle latitudini. Nonostante questo impegno nell’ambito dell’astronomia sferica di posizione, continuò ad occuparsi di astrofisica e ne approfittò per tenere alcuni corsi all’Università di Cagliari.
Alla fine del 1939 tornò ad Arcetri, dove – malgrado alcuni richiami alle armi - divenne astronomo all’Osservatorio. Iniziò poi a tenere corsi di spettroscopia e fisica solare all’Università di Firenze e continuò la sua attività di spettroscopia da laboratorio e osservativa, con l’analisi delle routinarie osservazioni solari fatte ad Arcetri. Nel 1947-48 soggiornò per alcuni mesi a Cambridge dove, presso il Cavendish Laboratory, studiò le tecniche della nascente radioastronomia.
All’inizio degli anni Cinquanta raggiunse l’apice della carriera diventando direttore incaricato del Centro di studio per l’astrofisica del CNR e dell’osservatorio astronomico di Asiago (con incarico del corso di astronomia all’Università di Padova nell’anno accademico 1952-53). A questi subentrò, dal novembre del 1952, l’incarico dell’insegnamento di astronomia all’Università di Firenze e la conseguente direzione dell’Osservatorio di Arcetri, in seguito al pensionamento di Abetti.
Sotto la direzione di Righini, l’osservatorio di Arcetri venne indirizzato verso una forte specializzazione nella fisica solare, aprendosi all’analisi di osservazioni dello spettro elettromagnetico oltre la banda ottica. Pionieristica fu l’attività nel campo della radioastronomia solare, che portò alla realizzazione di vari radiotelescopi – i primi in Italia - per lo studio della corona e il monitoraggio dei bursts solari, e che culminò con l’inaugurazione nel 1963 della grande antenna parabolica da 10 metri. Vennero inoltre installate ad Arcetri delle antenne per la ricezione delle osservazioni condotte dai satelliti artificiali statunitensi SOLRAD, dedicati allo studio del Sole nelle bande UV e X; l’Osservatorio fece poi parte della collaborazione per lo spettrografo solare in raggi X operante dalla stazione orbitale NASA Skylab.
L’Osservatorio proseguì anche il tradizionale studio ottico del Sole di monitoraggio della fotosfera con la Torre solare, e di studio della di cromosfera e corona grazie a campagne osservative di eclissi solari. Di particolare rilievo furono le osservazioni dell’eclisse totale del 15 febbraio 1961, visibile da Arcetri, che furono condotte sia dall’Osservatorio che da bordo di un aereo dell’aeronautica militare; e quelle dell’eclisse totale del 1963 condotte da bordo di un quadrigetto DC 8, grazie alle quali Righini poté studiare le variazioni di temperatura della corona solare.
Righini fu anche promotore dell’adesione dell’Osservatorio di Arcetri alle campagne di monitoraggio dell’attività solare dell’Anno geofisico internazionale (1957-58) e dell’Anno internazionale del Sole quieto (1964-65); del progetto europeo JOSO per l’ideazione di un grande osservatorio solare, poi costruito alle Canarie; e della realizzazione di un Osservatorio astronomico nazionale, della cui commissione di studio fu presidente.
All’attività scientifica Righini affiancò anche un’ampia attività divulgativa, scrivendo alcuni saggi scientifici e numerosi articoli di giornale, dedicati alle prime missioni spaziali e ad altri temi di astronomia e fisica dello spazio; si dedicò infine ad alcuni studi sulla storia dell’astronomia fiorentina e svolse un’accurata analisi delle osservazioni di Galileo Galilei.
Morì il 30 maggio 1978, pochi mesi prima del pensionamento.