Alessandro Dorna nacque ad Asti il 13 febbraio 1825. Dopo aver compiuto i primi studi nella sua città natale, Dorna si trasferì a Torino dove si laureò in Ingegneria idraulica nel 1848. Giovanni Plana, di cui era stato allievo lo invitò a rivolgere i propri interessi verso le discipline matematiche e astronomiche, e nel 1850 lo propose per la cattedra di meccanica razionale presso l’Accademia Militare, insegnamento al quale Dorna attese fino all’anno della sua morte.
Dopo la morte di Plana avvenuta nel 1864, e a seguito del rifiuto di Schiaparelli come direttore dell’Osservatorio di Torino, fu inviato temporaneamente il professor Gilberto Govi fino alla nomina ufficiale di Dorna, che successe a Plana nel 1865 anche nella cattedra di Astronomia presso l’Università.
Fin da subito Dorna si dedicò alla ricerca di fondi per incrementare sia la dotazione strumentale che il personale dell’Osservatorio piemontese. Nel 1866 diede inizio alla pubblicazione del “Bollettino meteorologico del Regio Osservatorio dell’Università di Torino”, stampato a cura dell’Accademia delle Scienze, all’interno del quale venivano inserite anche osservazioni astronomiche di carattere più particolare. Pur disponendo di scarsi mezzi, nel corso degli oltre vent’anni della sua direzione la Specola torinese portò a termine numerosi lavori, tra i quali le osservazioni di stelle cadenti. Per facilitare questo lavoro di osservazione Dorna compilò un catalogo, corredato di un atlante, di stelle dalla prima alla quarta grandezza, pubblicato nel 1871 con il titolo "Catalogo delle 634 stelle principali visibili alla latitudine media di 45° colle coordinate delle loro posizioni medie per l’anno 1880, ed Atlante di 12 carte contenenti le dette stelle proiettate stereograficamente sull’orizzonte, di due in due ore siderali, coi circoli paralleli di declinazione di 10 in 10 gradi".
Nel 1874 partecipò alla spedizione a Muddapur, nelle Indie orientali, organizzata dal direttore dell’Osservatorio astronomico di Palermo Pietro Tacchini, con il sostegno del Ministero della Pubblica Istruzione, per osservare il transito di Venere sul disco solare. Otto anni dopo Dorna studiò nuovamente lo stesso passaggio osservandolo da Torino e le sue osservazioni e deduzioni si distinsero per il rigore dimostrato e la precisione dei risultati.
Nello stesso periodo il Consorzio universitario torinese, costituitosi nel capoluogo subalpino allo scopo di sostenere finanziariamente l’Università e gli Istituti da essa dipendenti grazie a una convenzione fra Provincia e Comune, diede a Dorna l’opportunità di acquistare un telescopio equatoriale, vale a dire un telescopio rifrattore con obbiettivo acromatico, prodotto dalla ditta Merz di Monaco di Baviera, di 30 cm di diametro e distanza focale di quattro metri e mezzo. Lo strumento, installato nel 1886 sotto una cupola girevole di otto metri e mezzo di diametro e cinque metri e mezzo di altezza, rimase il maggiore in dotazione all’Osservatorio fino al 1971, quando fu inaugurato il telescopio Marcon.
Dorna prese parte a numerose commissioni scientifiche e fu membro di diversi Istituti e Accademie: dal 1867 del Regio Istituto Lombardo, dal 1869 dell’Accademia delle Scienze di Torino e dal 1872 dell’Accademia nazionale dei Lincei. Nel 1868 gli fu affidata la reggenza della cattedra di Geodesia presso la Scuola di Guerra e fu eletto rappresentante dell’Accademia delle Scienze di Torino presso il Consiglio direttivo della Scuola di Applicazione degli Ingegneri.
Alle sue opere di carattere astronomico vanno aggiunti numerosi studi nel campo della matematica pura e applicata, pubblicati negli “Annali di Matematica” di Roma e nel “Giornale di Matematica” di Napoli.
Dorna fu il primo a rimarcare, dopo quasi sessant’anni dallo stabilimento dell’Osservatorio nei locali di Palazzo Madama, l’inadeguatezza della sede, proponendo, in una lettera al rettore dell’Università datata 15 dicembre 1883, la sistemazione dell’attuale edificio oppure la costruzione di un nuovo Istituto. Morì nella sua villa presso Sant’Ambrogio di Torino il 19 agosto 1886 per i postumi di una caduta dalle scale dell’Osservatorio.